Modèle d'une articulation actionnée par un moteur linéaire [Partie 2]

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Cette page fait partie d'un article sur la modélisation d'une articulation actionnée par un moteur linéaire. Il est vivement conseillé de commencer la lecture par l'introduction.

Cet article est divisé en 4 partie :

L'angle en fonction de la longueur

Calculons l'angle $ \alpha $ en fonction de la longueur du moteur $ | \overrightarrow{AB} | $.

Commençons par calculer la longueur $ | \overrightarrow{AC} | $. Comme le triangle $ABC$ est rectangle en $B$, nous pouvons appliquer le théorème de Pythagore:

$$ | \overrightarrow{AC} |^2 = | \overrightarrow{BC} |^2 + | \overrightarrow{BA} |^2 $$

Pour obtenir l'angle de rotation de l'articulation, ($ \alpha $), utilisons la loi des cosinus dans le triangle $ OAC $:

$$ | \overrightarrow{AC} |^2 = | \overrightarrow{OA} |^2 + | \overrightarrow{OC} |^2 - 2 | \overrightarrow{OA} | | \overrightarrow{OC} | \cos(\alpha) $$

Remplaçons $ | \overrightarrow{AC} |^2 $ par l'équation suivante :

$$ | \overrightarrow{BC} |^2 + | \overrightarrow{BA} |^2 = | \overrightarrow{OA} |^2 + | \overrightarrow{OC} |^2 - 2 | \overrightarrow{OA} | | \overrightarrow{OC} | \cos(\alpha) $$

Nous pouvons reformuler cette équation :

$$ \cos(\alpha) = \dfrac{| \overrightarrow{OA} |^2 + | \overrightarrow{OC} |^2 - | \overrightarrow{BC} |^2 - | \overrightarrow{BA} |^2 }{2 | \overrightarrow{OA} | | \overrightarrow{OC} |} $$

L'angle $\alpha$ est donc donné par :

$$ \alpha = \arccos \left( \dfrac{| \overrightarrow{OA} |^2 + | \overrightarrow{OC} |^2 - | \overrightarrow{BC} |^2 - | \overrightarrow{BA} |^2 }{2 | \overrightarrow{OA} | | \overrightarrow{OC} ) |} \right) $$

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Voir aussi

Dernière mise à jour : 20/05/2022