Comment tester si quatre points sont coplanaires

Introduction

Le but de cet article est de vérifier si 4 points sont coplanaires, c'est à dire qu'ils appartiennent au même plan. Considérons quatre points \( P_1 \), \( P_2 \), \( P_3 \) et \( P_4 \) définis dans \( \mathbb{R}^3 \). La question peut être reformulée de la façon suivante : "est-ce que le point \( P_4 \) appartient au plan défini par les points \( P_1 \), \( P_2 \) et \(P_3 \)".

Démonstration

Commençons par calculer le vecteur normal au plan défini par les points \(P_1 \), \(P_2 \) et \(P_3 \):

$$ \vec{n_1}=\vec{P_1P_2} \times \vec{P_1P_3} $$

Calculons maintenant le vecteur normal au plan défini par les points \(P_1 \), \(P_2 \) et \(P_4 \):

$$ \vec{n_2}=\vec{P_1P_2} \times \vec{P_1P_4} $$

Si les quatre points appartiennent au plan, les vecteurs \(\vec{n_1} \) et \(\vec{n_2} \) sont colinéaires et cela peut être vérifié grâce au produit scalaire des vecteurs normaux:

$$ \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} =0 $$

La relation peut être reformulée:

$$ (\vec{P_1P_2} \times \vec{P_1P_3}) \cdot (\vec{P_1P_2} \times \vec{P_1P_4}) =0 $$

Puis simplifiée:

$$ \vec{P_1P_2} \cdot (\vec{P_1P_3} \times \vec{P_1P_4}) =0 $$

Conclusion

Les quatres points sont coplanaires, si et seulement si \( \vec{P_1P_2} \cdot (\vec{P_1P_3} \times \vec{P_1P_4}) =0 \) .

Voir aussi


Dernière mise à jour : 26/11/2018